袋の中に赤玉と青玉が合わせて12個入っています。この袋から2個の玉を同時に取り出したとき、2個とも赤玉である確率が$\frac{14}{33}$である。赤玉の個数を求めなさい。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉と青玉が合わせて12個入っています。この袋から2個の玉を同時に取り出したとき、2個とも赤玉である確率が$\frac{14}{33}$である。赤玉の個数を求めなさい。

2. 解き方の手順

赤玉の個数を$x$とすると、青玉の個数は$12-x$となります。

2個の玉を同時に取り出す取り出し方は、全部で$_{12}C_2$通りです。

2個とも赤玉である取り出し方は$_{x}C_2$通りです。

したがって、2個とも赤玉である確率は$\frac{_{x}C_2}{_{12}C_2}$となります。

問題文より、この確率は$\frac{14}{33}$であるので、次の方程式が成り立ちます。

$\frac{_{x}C_2}{_{12}C_2} = \frac{14}{33}$

ここで、$_{x}C_2 = \frac{x(x-1)}{2}$、$_{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$なので、

$\frac{\frac{x(x-1)}{2}}{66} = \frac{14}{33}$

$\frac{x(x-1)}{2} = 66 \times \frac{14}{33}$

$\frac{x(x-1)}{2} = 2 \times 14$

$x(x-1) = 4 \times 14 = 56$

$x^2 - x - 56 = 0$

$(x - 8)(x + 7) = 0$

$x = 8, -7$

$x$は玉の個数なので、正の整数でなければならないから、$x = 8$となります。

3. 最終的な答え

赤玉の個数は8個です。