$a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $\frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geq 4$ を証明し、等号が成り立つときを調べる問題です。

1. 問題の内容

$a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $\frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geq 4$ を証明し、等号が成り立つときを調べる問題です。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用して証明します。

$a > 0, b > 0$ より、$\frac{b}{a} > 0$ かつ $\frac{4a}{b} > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{\frac{b}{a} + \frac{4a}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{b}}$

$\frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geq 2 \sqrt{4}$

$\frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geq 2 \cdot 2$

$\frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geq 4$

したがって、不等式 $\frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geq 4$ が証明されました。

等号が成り立つのは、相加平均と相乗平均の関係において $\frac{b}{a} = \frac{4a}{b}$ のときです。

$\frac{b}{a} = \frac{4a}{b}$

$b^2 = 4a^2$

$b = \pm 2a$

$b > 0, a > 0$ より $b = 2a$ のとき等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geq 4$ は証明された。

等号が成り立つのは $b = 2a$ のとき。