$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$、 $y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3+y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$、 $y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^3+y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} + \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$

通分すると、

$x+y = \frac{(\sqrt{6}-2)^2 + (\sqrt{6}+2)^2}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}$

分子を展開すると、

$x+y = \frac{(6-4\sqrt{6}+4) + (6+4\sqrt{6}+4)}{6-4}$

$x+y = \frac{10-4\sqrt{6}+10+4\sqrt{6}}{2} = \frac{20}{2} = 10$

(2) $xy$ を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} \cdot \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} = 1$

(3) $x^2+y^2$ を計算します。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^2+y^2 = 10^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$

(4) $x^3+y^3$ を計算します。

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ より、

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3x^2y - 3xy^2$

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

$x^3+y^3 = 10^3 - 3(1)(10) = 1000 - 30 = 970$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 10$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 98$

(4) $x^3+y^3 = 970$