$x = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$のとき、以下の値を求めよ。 (1) $x + y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$のとき、以下の値を求めよ。

(1) $x + y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x + y$を計算する。$x$と$y$を通分して計算する。

$$x + y = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$$

$$= \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + 2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$$

$$= \frac{2\sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{5 - 3}$$

$$= \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$$

(2) $xy$を計算する。

$$xy = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$$

$$= \frac{4}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$$

$$= \frac{4}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$$

(3) $x^2 + y^2$を計算する。$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$を変形して、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$を使う。

$$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$$

$$= (2\sqrt{5})^2 - 2(2)$$

$$= 4(5) - 4 = 20 - 4 = 16$$

3. 最終的な答え

(1) $x + y = 2\sqrt{5}$

(2) $xy = 2$

(3) $x^2 + y^2 = 16$