与えられた関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = 2(x+1)(x-4)$ の $-1 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求めます。 (2) $y = -2x^2 + x$ の $x \geq -1$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = 2(x+1)(x-4)$ の $-1 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求めます。

(2) $y = -2x^2 + x$ の $x \geq -1$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(x+1)(x-4)$ の場合

まず、関数を展開します。

$y = 2(x^2 - 3x - 4) = 2x^2 - 6x - 8$

次に、平方完成をして、頂点の座標を求めます。

$y = 2(x^2 - 3x) - 8 = 2(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 8 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - 8 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{2}$

頂点の座標は$(\frac{3}{2}, -\frac{25}{2})$ です。

定義域 $-1 \leq x \leq 4$ における端点の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1+1)(-1-4) = 0$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4+1)(4-4) = 0$

頂点の $x$ 座標 $\frac{3}{2}$ は $-1 \leq x \leq 4$ の範囲に含まれます。

$y = -\frac{25}{2}$ は最小値の候補です。

範囲の端での値と頂点の値を比較します。

$x = -1$のとき、$y=0$

$x = 4$のとき、$y=0$

$x = \frac{3}{2}$のとき、$y = -\frac{25}{2}$

したがって、最大値は $0$、最小値は $-\frac{25}{2}$ です。

(2) $y = -2x^2 + x$ の場合

平方完成をして、頂点の座標を求めます。

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) = -2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$

頂点の座標は $(\frac{1}{4}, \frac{1}{8})$ です。

$x \geq -1$ における端点の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 + (-1) = -2 - 1 = -3$

$y = -2x^2 + x$ は上に凸な放物線なので、$x$ が増加するにつれて $y$ は減少します。

頂点の $x$ 座標 $\frac{1}{4}$ は $x \geq -1$ の範囲に含まれます。

$x = \frac{1}{4}$のとき、$y = \frac{1}{8}$

$x = -1$のとき、$y = -3$

$x$ が $\frac{1}{4}$ より大きい値を取ると、$y$ の値は $\frac{1}{8}$ より小さくなります。

$x \geq -1$ の範囲では、$y$ は最大値 $\frac{1}{8}$ を取りますが、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $0$、最小値: $-\frac{25}{2}$

(2) 最大値: $\frac{1}{8}$、最小値: なし