与えられた式 $\frac{x^2-8x-20}{3x^2+5x-2} \times \frac{3x^2-31x+10}{x^3-2x^2-80x}$ を簡約化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x^2-8x-20}{3x^2+5x-2} \times \frac{3x^2-31x+10}{x^3-2x^2-80x}$ を簡約化します。

2. 解き方の手順

まず、各多項式を因数分解します。

* $x^2 - 8x - 20 = (x-10)(x+2)$

* $3x^2 + 5x - 2 = (3x-1)(x+2)$

* $3x^2 - 31x + 10 = (3x-1)(x-10)$

* $x^3 - 2x^2 - 80x = x(x^2 - 2x - 80) = x(x-10)(x+8)$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$\frac{(x-10)(x+2)}{(3x-1)(x+2)} \times \frac{(3x-1)(x-10)}{x(x-10)(x+8)}$

次に、共通の因子をキャンセルします。

$x+2$, $3x-1$, および $x-10$が共通因子であるため、キャンセルすると

$\frac{1}{1} \times \frac{1}{x(x+8)} = \frac{x-10}{x(x+8)}$

となる。

$\frac{(x-10)(x+2)}{(3x-1)(x+2)} \times \frac{(3x-1)(x-10)}{x(x-10)(x+8)} = \frac{(x-10)(x+2)(3x-1)(x-10)}{(3x-1)(x+2)x(x-10)(x+8)}$

$= \frac{(x-10)}{x(x+8)}$

3. 最終的な答え

$\frac{x-10}{x(x+8)}$