与えられた4つの式について、2重根号を外して簡単にせよという問題です。 (1) $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$ (2) $\sqrt{11+4\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{4+\sqrt{7}}$ (4) $\sqrt{10+5\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式について、2重根号を外して簡単にせよという問題です。

(1) $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$

(2) $\sqrt{11+4\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{4+\sqrt{7}}$

(4) $\sqrt{10+5\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$

$\sqrt{a-2\sqrt{b}}$ の形の2重根号を外すには、$a$を和、$b$を積とする2数を見つける必要があります。この場合、$a = 9$、$b = 20$ です。

$4 + 5 = 9$ かつ $4 \times 5 = 20$なので、$4$ と $5$ が求める数です。

$\sqrt{9-2\sqrt{20}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{4})^2} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = \sqrt{5} - 2$

(2) $\sqrt{11+4\sqrt{6}}$

$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ の形にするために、まず $\sqrt{6}$ の係数を2にします。

$\sqrt{11+4\sqrt{6}} = \sqrt{11+2\sqrt{4^2 \times 6}} = \sqrt{11+2\sqrt{24}}$

次に、$11$を和、$24$を積とする2数を見つけます。

$8 + 3 = 11$ かつ $8 \times 3 = 24$なので、$8$ と $3$ が求める数です。

$\sqrt{11+2\sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{8}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2\sqrt{2}+\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{2}+\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{4+\sqrt{7}}$

$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ の形にするために、根号の中を2倍します。

$\sqrt{4+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2(4+\sqrt{7})}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}$

次に、$8$を和、$7$を積とする2数を見つけます。

$7 + 1 = 8$ かつ $7 \times 1 = 7$なので、$7$ と $1$ が求める数です。

$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7}+1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{7}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$

(4) $\sqrt{10+5\sqrt{3}}$

$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ の形にするために、根号の中を2倍します。

$\sqrt{10+5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2(10+5\sqrt{3})}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{20+10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{20+2\sqrt{25 \times 3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{20+2\sqrt{75}}}{\sqrt{2}}$

次に、$20$を和、$75$を積とする2数を見つけます。

$15 + 5 = 20$ かつ $15 \times 5 = 75$なので、$15$ と $5$ が求める数です。

$\frac{\sqrt{20+2\sqrt{75}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{15}+\sqrt{5})\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}-2$

(2) $2\sqrt{2}+\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}}{2}$