集合 $A = \{x | 0 < x < 6\}$, $B = \{x | x < -2 \text{ または } 2 < x\}$、$C = \overline{A \cup B}$ とする。このとき、$C$ と $A \cap C$ を求めよ。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x | 0 < x < 6\}$, $B = \{x | x < -2 \text{ または } 2 < x\}$、$C = \overline{A \cup B}$ とする。このとき、$C$ と $A \cap C$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A \cup B$ を求める。

$A = \{x | 0 < x < 6\}$ であり、$B = \{x | x < -2 \text{ または } 2 < x\}$ である。

$A \cup B$ は、$A$ と $B$ の要素をすべて合わせた集合である。つまり、$A \cup B = \{x | x < -2 \text{ または } 0 < x\}$ となる。

次に、$C = \overline{A \cup B}$ を求める。これは、$A \cup B$ の補集合である。

$A \cup B = \{x | x < -2 \text{ または } 0 < x\}$ であったから、

$C = \{x | -2 \le x \le 0\}$ となる。

最後に、$A \cap C$ を求める。

$A = \{x | 0 < x < 6\}$ であり、$C = \{x | -2 \le x \le 0\}$ である。

$A \cap C$ は、$A$ と $C$ の共通部分である。つまり、$A$ にも $C$ にも含まれる要素の集合である。

$A$ は $0 < x < 6$ の範囲、$C$ は $-2 \le x \le 0$ の範囲なので、共通部分は存在しない。

したがって、$A \cap C = \emptyset$ (空集合) となる。

3. 最終的な答え

$C = \{x | -2 \le x \le 0\}$

$A \cap C = \emptyset$