2次関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + a^2 - 6a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M-m$ を最小とするような $a$ の値とその最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + a^2 - 6a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M-m$ を最小とするような $a$ の値とその最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) + a^2 - 6a = -(x-a)^2 + a^2 + a^2 - 6a = -(x-a)^2 + 2a^2 - 6a$

$f(x)$ は $x=a$ を軸とする上に凸の放物線である。区間 $0 \le x \le 2$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $f(x)$ は減少するので、最大値は $M = f(0) = a^2 - 6a$、最小値は $m = f(2) = -4 + 4a + a^2 - 6a = a^2 - 2a - 4$。

$M - m = (a^2 - 6a) - (a^2 - 2a - 4) = -4a + 4$。

このとき、$M - m$ は $a$ について単調減少なので、$a<0$ より、$M-m$ を最小にする $a$ は存在しない。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $M = f(a) = 2a^2 - 6a$。

最小値を考える。

(a) $0 \le a \le 1$ のとき、$m = f(2) = a^2 - 2a - 4$。

$M - m = (2a^2 - 6a) - (a^2 - 2a - 4) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$。

(b) $1 < a \le 2$ のとき、$m = f(0) = a^2 - 6a$。

$M - m = (2a^2 - 6a) - (a^2 - 6a) = a^2$。

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $f(x)$ は増加するので、最大値は $M = f(2) = a^2 - 2a - 4$、最小値は $m = f(0) = a^2 - 6a$。

$M - m = (a^2 - 2a - 4) - (a^2 - 6a) = 4a - 4$。

このとき、$M - m$ は $a$ について単調増加なので、$a>2$ より、$M-m$ を最小にする $a$ は $a=2$ のとき。

(ii) に戻って、(a) $0 \le a \le 1$ のとき、$M-m = (a-2)^2$ は $a=0$ のとき最大で、$M-m = 4$, $a=1$ のとき最小で、$M-m=1$。

(b) $1 < a \le 2$ のとき、$M-m = a^2$ は $a=1$ のとき $M-m = 1$, $a=2$ のとき $M-m=4$。$a=1$ は範囲に含まれないので、$a \rightarrow 1+0$ のとき1となる。

ゆえに、$M-m$ が最小となるのは $a=1$ のときで、$M-m=1$。

(iii) $a>2$ のときは、$M-m=4a-4 > 4$ となるので、$a=1$ のときが最小。

したがって、$a=1$ のとき、$M-m$ は最小値 1 をとる。

3. 最終的な答え

$a = 1$ のとき、最小値は $1$