数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n^2 - 2na_n + 4n$で定義されているとき、$a_n = 2n-1$ がすべての自然数 $n$ について成り立つことを数学的帰納法で証明する問題です。途中いくつかの空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n^2 - 2na_n + 4n$で定義されているとき、$a_n = 2n-1$ がすべての自然数 $n$ について成り立つことを数学的帰納法で証明する問題です。途中いくつかの空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(I) $n=1$のとき:

$a_1 = 1$であり、$2\cdot1 - 1 = 1$なので、$n=1$のとき、$a_n = 2n-1$は成り立ちます。

(II) $n=k$のとき、$a_k = 2k-1$が成り立つと仮定します。

このとき、$a_k = \text{ア}$なので、アには$2k-1$が入ります。

$n = k+1$のとき、

$a_{k+1} = a_k^2 - 2ka_k + 4k$ に、$a_k = 2k-1$ を代入すると、

$a_{k+1} = (2k-1)^2 - 2k(2k-1) + 4k$

よって、

$a_{k+1} = (4k^2 - 4k + 1) - (4k^2 - 2k) + 4k$

$a_{k+1} = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 2k + 4k = 2k+1$

$a_{k+1} = 2k+1$となるので、$n=k+1$のときも、$a_n = 2n-1$ が成り立つ。

なぜなら、$2(k+1) - 1 = 2k + 2 - 1 = 2k + 1$ だからです。

よって、イには$4k$、ウには$2k+1$が入ります。

したがって、

$a_{k+1} = (2k-1)^2 - 2k(2k-1) + 4k = 2k+1$

これは、$2(k+1) - 1$ と一致するため、$n=k+1$のときも、$a_n = 2n-1$ が成り立ちます。

(I), (II)より、すべての自然数 $n$ について、$a_n = 2n-1$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

ア: $2k-1$

イ: $4k$

ウ: $2k+1$