第10項が250、第25項が-200である等差数列 $\{a_n\}$ について、正の数である項は何項あるか。

1. 問題の内容

第10項が250、第25項が-200である等差数列 $\{a_n\}$ について、正の数である項は何項あるか。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ただし、$a$ は初項、$d$ は公差である。

問題文より、第10項が250なので、

$a_{10} = a + 9d = 250$

また、第25項が-200なので、

$a_{25} = a + 24d = -200$

この2式から、$a$ と $d$ を求める。

上の式から下の式を引くと、

$(a + 9d) - (a + 24d) = 250 - (-200)$

$-15d = 450$

$d = -30$

$d = -30$ を $a + 9d = 250$ に代入すると、

$a + 9(-30) = 250$

$a - 270 = 250$

$a = 520$

したがって、等差数列の一般項は $a_n = 520 + (n-1)(-30) = 520 - 30n + 30 = 550 - 30n$ である。

正の数である項を求めるので、$a_n > 0$ となる $n$ の範囲を求める。

$550 - 30n > 0$

$550 > 30n$

$n < \frac{550}{30} = \frac{55}{3} = 18.333...$

$n$ は自然数なので、$n \le 18$ となる。

したがって、正の数である項は第1項から第18項までの18項である。

3. 最終的な答え

18項