$(20+1)^{100} = 21^{100}$ の十の位の数字を求めます。

## (20+1)^100 の十の位の値を求める問題

1. 問題の内容

$(20+1)^{100} = 21^{100}$ の十の位の数字を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。

$21^{100} = (1 + 20)^{100} = \sum_{k=0}^{100} {100 \choose k} 1^{100-k} 20^k = \sum_{k=0}^{100} {100 \choose k} 20^k$

$21^{100} = {100 \choose 0} 20^0 + {100 \choose 1} 20^1 + {100 \choose 2} 20^2 + \sum_{k=3}^{100} {100 \choose k} 20^k$

$21^{100} = 1 + 100 \times 20 + \frac{100 \times 99}{2} \times 20^2 + \sum_{k=3}^{100} {100 \choose k} 20^k$

$21^{100} = 1 + 2000 + 50 \times 99 \times 400 + \sum_{k=3}^{100} {100 \choose k} 20^k$

$21^{100} = 1 + 2000 + 1980000 + \sum_{k=3}^{100} {100 \choose k} 20^k$

$21^{100} = 2001 + 1980000 + \sum_{k=3}^{100} {100 \choose k} 20^k$

ここで、$\sum_{k=3}^{100} {100 \choose k} 20^k$ の各項は$20^3$以上であるため、少なくとも $1000 \times 8$ の倍数であり、十の位には影響しません。

したがって、$2001 + 1980000 = 1982001$ から十の位を決定することができます。

$21^{100} = \cdots 01$なので十の位は0です。

3. 最終的な答え

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