2次関数 $y = x^2 - (k+3)x + 3k$ のグラフがx軸から切り取る線分の長さが5のとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (k+3)x + 3k$ のグラフがx軸から切り取る線分の長さが5のとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 - (k+3)x + 3k$ とx軸との交点のx座標を求めます。

x軸との交点では $y = 0$ なので、2次方程式 $x^2 - (k+3)x + 3k = 0$ を解きます。

この方程式を因数分解すると、

$$(x-3)(x-k) = 0$$

したがって、解は $x = 3$ と $x = k$ となります。

2つの交点のx座標の差の絶対値が線分の長さになるので、

$$|k - 3| = 5$$

この絶対値方程式を解きます。

(i) $k - 3 = 5$ の場合、 $k = 8$

(ii) $k - 3 = -5$ の場合、 $k = -2$

$k$ の値が求まりましたが、$x^2$の係数が正であるため、グラフは下に凸の放物線となります。したがって、$x$軸と交わり線分を切り取るためには実数解を持つ必要があります。$k$が実数であれば条件を満たします。

3. 最終的な答え

$k = 8, -2$