一般項 $a_n = (-3)^n$ である数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式で表される数列 $\{b_n\}$ の初項から第5項までを求めます。 (1) $b_n = a_n + 1$ (2) $b_n = \frac{a_n + 1}{2}$ (3) $b_n = \frac{1}{3}a_n + 1$

1. 問題の内容

一般項 $a_n = (-3)^n$ である数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式で表される数列 $\{b_n\}$ の初項から第5項までを求めます。

(1) $b_n = a_n + 1$

(2) $b_n = \frac{a_n + 1}{2}$

(3) $b_n = \frac{1}{3}a_n + 1$

2. 解き方の手順

まず、$a_1$から$a_5$までを計算します。

$a_1 = (-3)^1 = -3$

$a_2 = (-3)^2 = 9$

$a_3 = (-3)^3 = -27$

$a_4 = (-3)^4 = 81$

$a_5 = (-3)^5 = -243$

次に、それぞれの$b_n$について、初項から第5項までを計算します。

(1) $b_n = a_n + 1$

$b_1 = a_1 + 1 = -3 + 1 = -2$

$b_2 = a_2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$b_3 = a_3 + 1 = -27 + 1 = -26$

$b_4 = a_4 + 1 = 81 + 1 = 82$

$b_5 = a_5 + 1 = -243 + 1 = -242$

(2) $b_n = \frac{a_n + 1}{2}$

$b_1 = \frac{a_1 + 1}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$b_2 = \frac{a_2 + 1}{2} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$b_3 = \frac{a_3 + 1}{2} = \frac{-27 + 1}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

$b_4 = \frac{a_4 + 1}{2} = \frac{81 + 1}{2} = \frac{82}{2} = 41$

$b_5 = \frac{a_5 + 1}{2} = \frac{-243 + 1}{2} = \frac{-242}{2} = -121$

(3) $b_n = \frac{1}{3}a_n + 1$

$b_1 = \frac{1}{3}a_1 + 1 = \frac{1}{3}(-3) + 1 = -1 + 1 = 0$

$b_2 = \frac{1}{3}a_2 + 1 = \frac{1}{3}(9) + 1 = 3 + 1 = 4$

$b_3 = \frac{1}{3}a_3 + 1 = \frac{1}{3}(-27) + 1 = -9 + 1 = -8$

$b_4 = \frac{1}{3}a_4 + 1 = \frac{1}{3}(81) + 1 = 27 + 1 = 28$

$b_5 = \frac{1}{3}a_5 + 1 = \frac{1}{3}(-243) + 1 = -81 + 1 = -80$

3. 最終的な答え

(1) $b_1 = -2, b_2 = 10, b_3 = -26, b_4 = 82, b_5 = -242$

(2) $b_1 = -1, b_2 = 5, b_3 = -13, b_4 = 41, b_5 = -121$

(3) $b_1 = 0, b_2 = 4, b_3 = -8, b_4 = 28, b_5 = -80$