与えられた2次関数 $y = -x^2 + 4x + 3$ について、以下の問いに答えます。 (1) この放物線の頂点の座標を求めます。 (2) $-2 \le x \le 5$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。 (3) この放物線を $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフが $x$ 軸と異なる2点 A, B で交わるとき、これらの交点の $x$ 座標の小さい方から A, B とします。AB = 10 となるとき、$a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 4x + 3$ について、以下の問いに答えます。

(1) この放物線の頂点の座標を求めます。

(2) $-2 \le x \le 5$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

(3) この放物線を $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフが $x$ 軸と異なる2点 A, B で交わるとき、これらの交点の $x$ 座標の小さい方から A, B とします。AB = 10 となるとき、$a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるには、まず与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 3 = -(x^2 - 4x) + 3 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = -(x - 2)^2 + 4 + 3 = -(x - 2)^2 + 7$

よって、頂点の座標は (2, 7) です。

(2) $-2 \le x \le 5$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ で、これは区間 $-2 \le x \le 5$ に含まれています。

$x = 2$ のとき、$y = 7$ です。

$x = -2$ のとき、$y = -(-2)^2 + 4(-2) + 3 = -4 - 8 + 3 = -9$ です。

$x = 5$ のとき、$y = -(5)^2 + 4(5) + 3 = -25 + 20 + 3 = -2$ です。

したがって、最大値は 7 で、最小値は -9 です。

(3) 放物線 $y = -x^2 + 4x + 3$ を $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフは、$y = -x^2 + 4x + 3 + a$ となります。

このグラフが $x$ 軸と交わるということは、$y = 0$ となる $x$ が存在することです。

$-x^2 + 4x + 3 + a = 0$ を解くと、$x^2 - 4x - 3 - a = 0$ となります。

この方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、$x_1 + x_2 = 4$ であり、$x_1 x_2 = -3 - a$ です。

また、AB = 10 なので、$|x_2 - x_1| = 10$ となります。

$(x_2 - x_1)^2 = (x_2 + x_1)^2 - 4x_1 x_2 = 4^2 - 4(-3 - a) = 16 + 12 + 4a = 28 + 4a$

$(x_2 - x_1)^2 = 10^2 = 100$ なので、$28 + 4a = 100$ となります。

$4a = 72$ より、$a = 18$ となります。

$y = -x^2 + 4x + 3 + 18 = -x^2 + 4x + 21 = 0$ を満たす $x$ が異なる2点である必要があるので、判別式 $D = 4^2 - 4(-1)(21) = 16 + 84 = 100 > 0$ を満たします。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は (2, 7) です。

(2) 最大値は 7 で、最小値は -9 です。

(3) $a = 18$ です。