$a_n = 5^n$ とするとき、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n \geq 4n + 1$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。穴埋め形式で、ア、イ、ウに適切な式を記入します。

1. 問題の内容

$a_n = 5^n$ とするとき、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n \geq 4n + 1$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。穴埋め形式で、ア、イ、ウに適切な式を記入します。

2. 解き方の手順

(I) $n = 1$ のとき、$a_1 = 5^1 = 5$, $4\cdot1 + 1 = 5$ なので、$a_1 \geq 4\cdot1 + 1$ が成り立ちます。

(II) $n = k$ のとき、$a_k \geq 4k + 1$ が成り立つと仮定します。

$n = k + 1$ のとき、$a_{k+1} = 5^{k+1} = 5 \cdot 5^k = 5a_k$ となります。

仮定より、$a_k \geq 4k + 1$ なので、$5a_k \geq 5(4k + 1) = 20k + 5$ となります。よって、イには $20k + 5$ が入ります。

$a_{k+1} - \{4(k+1) + 1\} = a_{k+1} - (4k + 5) \geq 20k + 5 - (4k + 5) = 16k \geq 0$ となります。したがって、ウには $16k$ が入ります。

よって、$n = k + 1$ のときにも $a_n \geq 4n + 1$ が成り立ちます。

(I), (II) より、すべての正の整数 $n$ について $a_n \geq 4n + 1$ が成り立ちます。

ア：$4k+1$

イ：$20k+5$

ウ：$16k$

3. 最終的な答え

ア：$4k+1$

イ：$20k+5$

ウ：$16k$