与えられた二次関数の定義域が指定されている場合について、それぞれの最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 \le x \le 2$) (2) $y = -x^2 + 4x - 1$ ($0 < x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域が指定されている場合について、それぞれの最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 1$ ($0 < x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x + 2$ について

まず、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

頂点は$(1, 1)$です。定義域は$-1 \le x \le 2$なので、頂点の$x$座標である$x=1$はこの区間に入っています。

次に、定義域の端点における$y$の値を求めます。

$x = -1$のとき、$y = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$

$x = 2$のとき、$y = (2)^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

頂点の$y$座標は1であり、これは最小値です。定義域の端点における$y$の値は5と2であり、5が最大値です。

(2) $y = -x^2 + 4x - 1$ について

まず、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

$y = -x^2 + 4x - 1 = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x - 2)^2 + 4 - 1 = -(x - 2)^2 + 3$

頂点は$(2, 3)$です。定義域は$0 < x \le 1$なので、頂点の$x$座標である$x=2$はこの区間に入っていません。

次に、定義域の端点における$y$の値を求めます。ただし、$x=0$は定義域に含まれないため、この値は考慮しません。

$x = 1$のとき、$y = -(1)^2 + 4(1) - 1 = -1 + 4 - 1 = 2$

$x=0$に近いほど、$y$は$-0^2+4\times0-1 = -1$に近づきます。

この関数は上に凸であり、定義域$0 < x \le 1$において、$x$が1に近いほど$y$の値は大きくなります。

したがって、$x=1$のとき、$y=2$が最大値です。$x$が$0$に近づくにつれて$y$は$-1$に近づきますが、$x=0$は定義域に含まれないため、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5 ($x = -1$のとき)、最小値: 1 ($x = 1$のとき)

(2) 最大値: 2 ($x = 1$のとき)、最小値: なし