与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての二次式と見て整理する。

$2x^2 + (5y + 4)x + (2y^2 - y - 6)$

次に、定数項 $2y^2 - y - 6$ を因数分解する。

$2y^2 - y - 6 = (2y + 3)(y - 2)$

与式の因数分解を

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$

の形になると仮定して、各係数を求めることを考える。

$2x^2 + (5y + 4)x + (2y + 3)(y - 2)$ の形から、

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$

とおくと

$ac = 2$ より、$a=2$ か $c=2$。

$2y^2 - y - 6 = (2y + 3)(y - 2)$ であることを考えると、

$(2x + y + a)(x + 2y + b)$

とおいて、展開すると

$2x^2 + 4xy + 2bx + xy + 2y^2 + by + ax + 2ay + ab$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b+a)x + (b+2a)y + ab$

元の式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ と比較すると、

$2b + a = 4$

$b + 2a = -1$

$ab = -6$

この連立方程式を解くと、

$2(2b+a) - (b+2a) = 2(4)-(-1)$

$4b + 2a - b - 2a = 8+1$

$3b = 9$

$b=3$

$2b + a = 4$ より、 $2(3) + a = 4$ なので $a = 4 - 6 = -2$

$ab = -6$ を確認すると、 $(-2)(3) = -6$ で成立する。

よって因数分解の結果は $(2x + y - 2)(x + 2y + 3)$ となる。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 2)(x + 2y + 3)$