2次方程式 $x^2 + 2ax + 2a + 3 = 0$ が実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2ax + 2a + 3 = 0$ が実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ を満たすことです。

まず、与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$x^2 + 2ax + 2a + 3 = 0$ の判別式は、

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a + 3)$

$D = 4a^2 - 8a - 12$

実数解を持つための条件 $D \geq 0$ より、

$4a^2 - 8a - 12 \geq 0$

両辺を4で割ると、

$a^2 - 2a - 3 \geq 0$

左辺を因数分解すると、

$(a - 3)(a + 1) \geq 0$

この不等式を解くと、$a \leq -1$ または $a \geq 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a \leq -1$ , $3 \leq a$