$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 2x - 2 = (x - 1)^2 - 3$

よって、頂点の座標は $(1, -3)$ である。軸は $x = 1$ である。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ と軸 $x = 1$ の位置関係によって場合分けを行う。

(i) $0 < a < 1$ のとき：

このとき、定義域は軸よりも左側にある。よって、$x = 0$ で最大値をとる。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

したがって、最大値は $-2$ である。

(ii) $a = 1$ のとき：

このとき、定義域の右端が軸である。よって、$x = 0$ で最大値をとる。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

したがって、最大値は $-2$ である。

(iii) $a > 1$ のとき：

このとき、定義域は軸を含み、最大値は定義域の端点でとる。$x = 0$ と $x = a$ の $y$ の値を比較する。$x = 0$ で $y = -2$ である。

$x = a$ のとき、$y = a^2 - 2a - 2$

したがって、$y = a^2 - 2a - 2$ と $y = -2$ を比較する。

$a^2 - 2a - 2 > -2 \Leftrightarrow a^2 - 2a > 0 \Leftrightarrow a(a - 2) > 0$

$a > 0$ より、$a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2$

つまり、$1 < a \le 2$ のとき、$x = 0$ で最大値 $-2$ をとる。

$a > 2$ のとき、$x = a$ で最大値 $a^2 - 2a - 2$ をとる。

まとめると、

$0 < a \le 2$ のとき、最大値は $-2$

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 2$ のとき、最大値 $-2$

$a > 2$ のとき、最大値 $a^2 - 2a - 2$