母音a, i, u, e と子音 b, c, d, fを1列に並べる。 (1) 子音4個が続いて並ぶ並べ方は何通りあるか。 (2) 母音と子音が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

母音a, i, u, e と子音 b, c, d, fを1列に並べる。

(1) 子音4個が続いて並ぶ並べ方は何通りあるか。

(2) 母音と子音が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 子音4個が続いて並ぶ場合：

まず、子音4個を一つの塊として考えます。この塊と母音4個を並べるので、合計5つのものを並べることになります。

5つのものを並べる順列は $5!$ 通りです。

次に、子音4個の塊の中で、子音の並び順は $4!$ 通りあります。

したがって、子音4個が続いて並ぶ並べ方は $5! \times 4!$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$

(2) 母音と子音が交互に並ぶ場合：

母音は4個、子音も4個なので、交互に並ぶ並び方は一つしかありません。すなわち、「母音、子音、母音、子音、母音、子音、母音、子音」または「子音、母音、子音、母音、子音、母音、子音、母音」のいずれかです。

まず、母音を並べる順列は $4!$ 通りあります。

次に、子音を並べる順列も $4!$ 通りあります。

したがって、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は $4! \times 4!$ 通りです。ただし，母音から始まる場合と子音から始まる場合があるので、条件を満たすのは，母音と子音の数が同じ場合のみである．今回は母音も子音も４つなので、母音から始まるか子音から始まるかで場合分けする必要はない。

$4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$

3. 最終的な答え

(1) 子音4個が続いて並ぶ並べ方は2880通り。

(2) 母音と子音が交互に並ぶ並べ方は576通り。