6人の生徒を以下の3つの場合に分けて、分け方が何通りあるかを求める。 (1) A, B, Cの3つの組に2人ずつ分ける。 (2) 2人ずつの3つの組に分ける。 (3) 2人, 2人, 1人, 1人の4組に分ける。

離散数学組み合わせ場合の数順列組合せ
2025/7/6

1. 問題の内容

6人の生徒を以下の3つの場合に分けて、分け方が何通りあるかを求める。
(1) A, B, Cの3つの組に2人ずつ分ける。
(2) 2人ずつの3つの組に分ける。
(3) 2人, 2人, 1人, 1人の4組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの3つの組に2人ずつ分ける場合
まず、Aの組に入れる2人を選ぶ。これは6C2_{6}C_{2}通り。
次に、残りの4人からBの組に入れる2人を選ぶ。これは4C2_{4}C_{2}通り。
最後に、残りの2人はCの組に入る。これは2C2_{2}C_{2}通り。
したがって、分け方の総数は6C2×4C2×2C2_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}となる。
計算すると、
6C2=6!2!4!=6×52×1=15_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
4C2=4!2!2!=4×32×1=6_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
2C2=2!2!0!=1_{2}C_{2} = \frac{2!}{2!0!} = 1
よって、15×6×1=9015 \times 6 \times 1 = 90通り。
(2) 2人ずつの3つの組に分ける場合
(1)と同様に考えると、6C2×4C2×2C2=15×6×1=90_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2} = 15 \times 6 \times 1 = 90通りとなる。
ただし、組に区別がないので、3つの組の並び順(3! = 6通り)を考慮する必要がある。
そのため、90÷3!=90÷6=1590 \div 3! = 90 \div 6 = 15通り。
(3) 2人, 2人, 1人, 1人の4組に分ける場合
まず、6人から2人の組を作る選び方は6C2_{6}C_{2}通り。
次に、残りの4人から2人の組を作る選び方は4C2_{4}C_{2}通り。
残りの2人から1人の組を2つ作る選び方は2C1×1C1_{2}C_{1} \times _{1}C_{1}通り。
ただし、2人の組が2つあるので、その並び順を考慮して2!で割る。また、1人の組は区別がないので、その並び順を考慮して2!で割る。
よって、6C2×4C2×2C1×1C12!×2!=15×6×2×12×1×2×1=1804=45\frac{_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{1} \times _{1}C_{1}}{2! \times 2!} = \frac{15 \times 6 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{180}{4} = 45通り。

3. 最終的な答え

(1) 90通り
(2) 15通り
(3) 45通り

「離散数学」の関連問題

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ と $B = \{2, 3, 4, 5, ...

集合集合演算共通部分補集合
2025/7/10

問題は、集合に関する基本的な問題です。具体的には、全体集合が与えられたときの部分集合(3の倍数の集合、12の約数の集合)、補集合の計算、2つの集合の共通部分と和集合の計算、そして命題の真偽判定とその反...

集合部分集合補集合共通部分和集合命題真偽
2025/7/10

順列 ${}_8P_4$ から組合せ ${}_8C_4$ を引いた値を計算する問題です。つまり、${}_8P_4 - {}_8C_4$ を求めることになります。

順列組合せ組み合わせ
2025/7/10

先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方 (2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方 (3) 両端が生徒である並び方 (4...

順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/10

大人3人と子供3人が輪になって並ぶ場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方を求めます。 (2) 大人と子供が交互に並ぶ並び方を求めます。

順列組み合わせ円順列
2025/7/9

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等...

集合論無限集合対等全単射証明反例
2025/7/9

男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 円の作り方は全部で何通りあるか。 (2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。 (3) 男子の太郎君と次郎君が向...

円順列順列組み合わせ場合の数
2025/7/9

図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

組み合わせ最短経路順列
2025/7/9

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。ただし、Aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使います。

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/9

正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。 (1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。 (2) 6色...

組み合わせ場合の数順列円順列正多角形
2025/7/9