6人の生徒を以下の3つの場合に分けて、分け方が何通りあるかを求める。 (1) A, B, Cの3つの組に2人ずつ分ける。 (2) 2人ずつの3つの組に分ける。 (3) 2人, 2人, 1人, 1人の4組に分ける。

1. 問題の内容

6人の生徒を以下の3つの場合に分けて、分け方が何通りあるかを求める。

(1) A, B, Cの3つの組に2人ずつ分ける。

(2) 2人ずつの3つの組に分ける。

(3) 2人, 2人, 1人, 1人の4組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの3つの組に2人ずつ分ける場合

まず、Aの組に入れる2人を選ぶ。これは$_{6}C_{2}$通り。

次に、残りの4人からBの組に入れる2人を選ぶ。これは$_{4}C_{2}$通り。

最後に、残りの2人はCの組に入る。これは$_{2}C_{2}$通り。

したがって、分け方の総数は$_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}$となる。

計算すると、

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_{2}C_{2} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

よって、$15 \times 6 \times 1 = 90$通り。

(2) 2人ずつの3つの組に分ける場合

(1)と同様に考えると、$_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2} = 15 \times 6 \times 1 = 90$通りとなる。

ただし、組に区別がないので、3つの組の並び順（3! = 6通り）を考慮する必要がある。

そのため、$90 \div 3! = 90 \div 6 = 15$通り。

(3) 2人, 2人, 1人, 1人の4組に分ける場合

まず、6人から2人の組を作る選び方は$_{6}C_{2}$通り。

次に、残りの4人から2人の組を作る選び方は$_{4}C_{2}$通り。

残りの2人から1人の組を2つ作る選び方は$_{2}C_{1} \times _{1}C_{1}$通り。

ただし、2人の組が2つあるので、その並び順を考慮して2!で割る。また、1人の組は区別がないので、その並び順を考慮して2!で割る。

よって、$\frac{_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{1} \times _{1}C_{1}}{2! \times 2!} = \frac{15 \times 6 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{180}{4} = 45$通り。

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 15通り

(3) 45通り