男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 円の作り方は全部で何通りあるか。 (2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。 (3) 男子の太郎君と次郎君が向かい合う円の作り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。

(1) 円の作り方は全部で何通りあるか。

(2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。

(3) 男子の太郎君と次郎君が向かい合う円の作り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の円順列の数を求めます。8人なので、(8-1)! = 7! 通りです。ただし、裏返すと同じものになる場合があるので、2で割ります。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

$\frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$

(2) 男子と女子が交互になる円順列を求めます。まず男子を円形に並べます。(4-1)! = 3! 通り。次に女子を男子の間に並べます。4! 通り。ただし、裏返すと同じものになる場合があるので、2で割る必要はありません。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$

(3) 太郎君と次郎君が向かい合うように固定します。残りの6人の並び方を考えます。残りの6人は自由に並ぶことができるので、6!通りです。円順列ではないので、(6-1)!とする必要はありません。ただし、太郎君から見て右回りに並ぶ場合と、左回りに並ぶ場合とで区別する必要がないので、2で割ります。

また、残りの6人の並び順を左右反転させても同じ配置になるので、並び順のパターン数は半分になります。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

太郎と次郎の位置を固定し、残りの6人の並び方を考えると、

$6! = 720$ 通り。

このうち、左右反転させると同じ並びになるものが半分あるので、 $720 / 2 = 360$ 通り。

または、太郎を固定して考え、次郎の場所は自動的に決まる。残りの６人の並び方なので、

$6! = 720$　通り。円順列ではないので割る必要はない。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 144通り

(3) 720通り