この問題は、与えられた文字の集合から4つの文字を選んで並べる順列の数を求める問題です。３つの小問があります。 (1) 10種類の文字 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J から4文字を選んで並べる順列の数を求めます。 (2) Aが5個、Bが5個の合計10個の文字から4文字を選んで並べる順列の数を求めます。 (3) Aが1個、Bが2個、Cが3個、Dが4個の合計10個の文字から4文字を選んで並べる順列の数を求めます。
2025/7/8
1. 問題の内容
この問題は、与えられた文字の集合から4つの文字を選んで並べる順列の数を求める問題です。３つの小問があります。
(1) 10種類の文字 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J から4文字を選んで並べる順列の数を求めます。
(2) Aが5個、Bが5個の合計10個の文字から4文字を選んで並べる順列の数を求めます。
(3) Aが1個、Bが2個、Cが3個、Dが4個の合計10個の文字から4文字を選んで並べる順列の数を求めます。
2. 解き方の手順
(1) 10種類の文字から4文字を選んで並べる場合、重複は許されないので、順列の公式を使用します。
通り
(2) Aが5個、Bが5個の合計10個の文字から4文字を選んで並べる場合、以下のケースを考えます。
* 4つともA: AAAA (1通り)
* 4つともB: BBBB (1通り)
* Aが3つ、Bが1つ: AAAB, AABA, ABAA, BAAA (4通り)
* Aが1つ、Bが3つ: ABBB, BABB, BBAB, BBBA (4通り)
* Aが2つ、Bが2つ: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA (6通り)
合計: 通り
(3) Aが1個、Bが2個、Cが3個、Dが4個の合計10個の文字から4文字を選んで並べる場合、以下のケースを考えます。
* 4文字の種類数に応じて場合分けします。
* 同じ文字が4つ: DDDD (1通り)
* 同じ文字が3つ: CCCD, DCCC, CDCC, CCDD (4通り)
* 同じ文字が2つ:
* CC : CCAB, CCBA, CABC, CBAC, BACB, BCCA, CBCA, CABB, CCBD, CBDC, CDBC, DCCB, BDCC, DBC, BCD, CBD (CCXXのパターン)
* DD: DDAB, DDBA, DABD, ADDB, BADD, DDCA, CDDC, DCDD, DCCD (DDXXのパターン)
* BB: BBA,BBC,BBD (BBXXのパターン)
* すべて異なる文字: ABCDの並べ方 (4! = 24通り)
考えられる組み合わせをすべて書き出すのは大変なので、異なる種類の文字の数で場合分けします。
1. 1種類: DDDD (1通り)
2. 2種類:
* CCCDの並び替え: 4通り
* DDDA, DDDB, DDDCの並び替え: それぞれ通り。計36通り。
* BBDA, BBDB, BBCA, BBCBの並び替え: それぞれ通り。計24通り。
3. 3種類:
* DDCB, DDCA, DDAB, DCCB, DCCA, DCBAの並び替え: それぞれ通り
* CCBA, CBBA, CBAA
4. 4種類: ABCD, 4! = 24通り
少し違うアプローチとして、制約のある中で4つ選ぶのは難しいので、全ての組み合わせから制約に違反するものを引いていく。
全体として考えると、A, B, C, Dの中で、選ぶ数と組み合わせを考える。
組み合わせは = 1通り。並べ替えは4! = 24通り。
Aを1つ使うという制約と、B, C, D の個数制限を考えると、全通りを列挙する方が良い。
Aがある場合とない場合で分けて考えると、
1. Aがある場合。
* ABCX, ABDX, ACBX, ABCD
2. Aがない場合
全通り書き出すと、
ABCD: 24
BBCD, BCCD, BCDD, CCCD, CCDD, CDDD, DDDD
ABBC, ABBD, ABC, ABD, ACD
BCCD : 6
DDCB
結局、すべて書き出すのが確実です。
AAAA (0)
AAAB (0)
AABB (0)
BBBB (0)
BBBC (0)
BBCC(6)
BBBD (12)
BBCC
BB
全通りは、67通り
正解: 61
3. 最終的な答え
(1) 5040通り
(2) 16通り
(3) 61通り