(1) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ の部分集合を、与えられた集合 $P = \{1, 2, 3, 5\}$, $Q = \{1, 2, 4, 6\}$, $R = \{3, 6, 9, 12\}$ から選び、部分集合を表す記号 $\subset$ を用いて表現する。 (2) 全体集合を10以下の自然数の集合とし、4の倍数の集合を $B$ とするとき、$B$ の補集合 $\overline{B}$ を求める。 (3) 集合 $A = \{1, 2, 3, 6\}$ と $B = \{2, 4, 6, 8\}$ について、$A \cap B$ と $A \cup B$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ の部分集合を、与えられた集合 $P = \{1, 2, 3, 5\}$, $Q = \{1, 2, 4, 6\}$, $R = \{3, 6, 9, 12\}$ から選び、部分集合を表す記号 $\subset$ を用いて表現する。

(2) 全体集合を10以下の自然数の集合とし、4の倍数の集合を $B$ とするとき、$B$ の補集合 $\overline{B}$ を求める。

(3) 集合 $A = \{1, 2, 3, 6\}$ と $B = \{2, 4, 6, 8\}$ について、$A \cap B$ と $A \cup B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A$ の部分集合となるのは、$A$ の要素をすべて含む集合である。$Q = \{1, 2, 4, 6\}$ は $A$ の要素の一部を含んでいるため、$Q \subset A$ となる。

(2) 全体集合は $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ である。4の倍数の集合 $B$ は $B = \{4, 8\}$ となる。補集合 $\overline{B}$ は全体集合から $B$ の要素を除いたものなので、$\overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$ となる。

(3) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$\{1, 2, 3, 6\} \cap \{2, 4, 6, 8\} = \{2, 6\}$ となる。

$A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合なので、$\{1, 2, 3, 6\} \cup \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $Q \subset A$

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(3) $A \cap B = \{2, 6\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$