正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。 (1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。 (2) 6色のうち、ちょうど5色を使って塗り分ける方法の数を求めます。

1. 問題の内容

正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。

(1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。

(2) 6色のうち、ちょうど5色を使って塗り分ける方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 6色すべてを使う場合

まず、中心の三角形の色を決めます。これは6通りの選び方があります。

次に、残りの5色で周りの5つの三角形を塗ります。円順列の考え方から、(5-1)! = 4! = 24 通りの塗り方があります。

したがって、6色すべてを使う塗り方は $6 \times 24 = 144$ 通りです。

(2) 6色のうち、ちょうど5色を使う場合

まず、使わない1色を選びます。これは6通りの選び方があります。

次に、使う5色の中から中心の三角形の色を選びます。これは5通りの選び方があります。

残りの4色で周りの5つの三角形を塗ります。ここで、5つの三角形のうち2つの三角形が同じ色になります。

2つの同じ色を選ぶ配置を考えます。隣り合う場合と向かい合う場合があります。

i) 隣り合う場合：4色の円順列は (4-1)! = 3! = 6通り。

ii) 向かい合う場合：4色の円順列は 3! = 6通り。

ここで、同じ色が隣り合う場合は、回転によって同じになる塗り方が存在します。例えば、AABBCCCという塗り方は回転によって同じになります。

円順列の場合、(n-1)!で計算できますが、同じ色がある場合は重複が生じます。

したがって、単純に円順列で考えると誤りです。

まず、5色の選び方が $\binom{6}{5} = 6$通りあります。

次に、中心の色を決めます。これは5通りです。

残りの5つの三角形を4色で塗るので、1つの色を2回使う必要があります。

2回使う色を決めます。これは4通りです。

2回使う色が隣り合う場合と向かい合う場合を考えます。

隣り合う場合、残りの3色の並べ方は3! = 6通りです。

向かい合う場合、残りの3色の並べ方は3! = 6通りです。

したがって、塗り方は$6 \times 5 \times 4 \times (6+6)/2=6 \times 5 \times 4 \times (3!) = 6 \times 5 \times 24 = 720$

円順列ではなく直線順列で考えます。5つの三角形に色を並べる方法は $\frac{5!}{2!}$。これは4つの色を並べた後に同じ色を入れる場所を選ぶ方法と同じです。このとき5/2 = 120 /2 = 60なので、

最終的に，$6 \times 5 \times \frac{4!}{2!} = 6\times 5 \times \frac{24}{2} = 6\times 5 \times 12 = 360$

最終的には $6 \times 5 \times 12= 360$。

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 360通り