図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) AからBまでの最短経路の総数

AからBまでの最短経路は、右に5回、上に4回移動する順列の総数です。

これは、9回の移動のうち、右への移動5回を選ぶ組み合わせの数に等しいです。

したがって、最短経路の総数は、

${}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り

(2) Qを通る最短経路の総数

AからQまでの最短経路は、右に3回、上に2回移動する順列の総数です。

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

QからBまでの最短経路は、右に2回、上に2回移動する順列の総数です。

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

したがって、Qを通る最短経路の総数は、

$10 \times 6 = 60$ 通り

(3) Pを通る最短経路の総数

AからPまでの最短経路は、右に2回、上に1回移動する順列の総数です。

${}_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り

PからBまでの最短経路は、右に3回、上に3回移動する順列の総数です。

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り

したがって、Pを通る最短経路の総数は、

$3 \times 20 = 60$ 通り

(4) PとQの両方を通る最短経路の総数

AからPまでの最短経路は、${}_3 C_2 = 3$ 通り

PからQまでの最短経路は、右に1回、上に1回移動する順列の総数です。

${}_2 C_1 = 2$ 通り

QからBまでの最短経路は、${}_4 C_2 = 6$ 通り

したがって、PとQの両方を通る最短経路の総数は、

$3 \times 2 \times 6 = 36$ 通り

(5) PまたはQを通る最短経路の総数

PまたはQを通る最短経路の総数は、Pを通る最短経路の総数 + Qを通る最短経路の総数 - PとQの両方を通る最短経路の総数です。

$60 + 60 - 36 = 84$ 通り

3. 最終的な答え

AからBまでの最短経路の総数：126通り

Qを通る最短経路の総数：60通り

PまたはQを通る最短経路の総数：84通り