全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ と $B = \{2, 4, 5, 6, 8\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $\overline{A}$ (3) $\overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap B$ (5) $A \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A} \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ と $B = \{2, 4, 5, 6, 8\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A}$

(3) $\overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap B$

(5) $A \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と $B$ の共通部分です。つまり、$A$ にも $B$ にも含まれる要素の集合です。

(2) $\overline{A}$ は、$A$ の補集合です。つまり、全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合です。

(3) $\overline{B}$ は、$B$ の補集合です。つまり、全体集合 $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合です。

(4) $\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。

(5) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

(6) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合です。

計算:

* $\overline{A} = U - A = \{6, 7, 8, 9\}$

* $\overline{B} = U - B = \{1, 3, 7, 9\}$

(1) $A \cap B = \{2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A} = \{6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{B} = \{1, 3, 7, 9\}$

(4) $\overline{A} \cap B = \{6, 8\}$

(5) $A \cap \overline{B} = \{1, 3\}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 6, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A} = \{6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{B} = \{1, 3, 7, 9\}$

(4) $\overline{A} \cap B = \{6, 8\}$

(5) $A \cap \overline{B} = \{1, 3\}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 6, 7, 8, 9\}$