与えられた問題は、組み合わせ (combination) に関する計算問題と、正六角形に関する問題です。具体的には、以下の問題があります。 - 問題54: 組み合わせの計算 (6問) - 問題55: 異なるケーキからいくつかを選ぶ組み合わせの計算 - 問題56: コイン投げで表が出る回数の組み合わせの計算 - 問題57: 組み合わせの計算 (4問) - 問題58: 正六角形から作られる三角形の数と対角線の数を求める問題

1. 問題の内容

与えられた問題は、組み合わせ (combination) に関する計算問題と、正六角形に関する問題です。具体的には、以下の問題があります。

- 問題54: 組み合わせの計算 (6問)

- 問題55: 異なるケーキからいくつかを選ぶ組み合わせの計算

- 問題56: コイン投げで表が出る回数の組み合わせの計算

- 問題57: 組み合わせの計算 (4問)

- 問題58: 正六角形から作られる三角形の数と対角線の数を求める問題

2. 解き方の手順

問題54:

組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を利用して計算します。

(1) $4C2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

(2) $7C3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(3) $8C3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(4) $9C4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(5) $5C1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$

(6) $6C6 = \frac{6!}{6!0!} = 1$ (0! = 1)

問題55:

10個のケーキから4個を選ぶ組み合わせなので、$10C4$ を計算します。

$10C4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

問題56:

6回コインを投げて表が2回出る組み合わせなので、$6C2$ を計算します。

$6C2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

問題57:

(1) $6C5 = \frac{6!}{5!1!} = 6$

(2) $9C7 = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

(3) $11C8 = \frac{11!}{8!3!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$

(4) $8C0 = \frac{8!}{0!8!} = 1$

問題58:

(1) 正六角形の6つの頂点から3つの頂点を選んで三角形を作るので、$6C3$ を計算します。

$6C3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 正六角形の対角線の本数は、頂点の数から2つを選んでできる線分の数から、辺の数を引けば求められます。頂点数は6なので、$6C2$ から6を引きます。

$6C2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

対角線の本数 = 15 - 6 = 9

3. 最終的な答え

問題54:

(1) 6

(2) 35

(3) 56

(4) 126

(5) 5

(6) 1

問題55:

210通り

問題56:

15通り

問題57:

(1) 6

(2) 36

(3) 165

(4) 1

問題58:

(1) 20個

(2) 9本