いくつか場合の数を求める問題が掲載されています。 具体的には、組み合わせ（Combination）の計算、ケーキの選び方、コインの表裏の出方、正六角形に関する問題、果物の選び方、男女の選び方、カードの選び方、平行四辺形の個数、生徒のグループ分けに関する問題です。

1. 問題の内容

いくつか場合の数を求める問題が掲載されています。

具体的には、組み合わせ（Combination）の計算、ケーキの選び方、コインの表裏の出方、正六角形に関する問題、果物の選び方、男女の選び方、カードの選び方、平行四辺形の個数、生徒のグループ分けに関する問題です。

2. 解き方の手順

問題55：

6回コインを投げて表が2回出る場合の数は、6回の中から表が出る2回を選ぶ組み合わせの数に等しいです。組み合わせの公式 $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ を用いて計算します。

$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

問題59(1):

正六角形の頂点を結んでできる三角形の個数は、正六角形の6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数に等しいです。

$C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

問題61:

りんご、なし、かきを含む10種類のくだものの中から5種類を選ぶとき、りんご、なし、かきがすべて含まれるようにするには、残りの7種類のくだものから2種類を選ぶことになります。

$C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

問題62:

男子6人、女子4人から3人を選ぶとき、男子2人、女子1人となる選び方は、男子6人から2人を選び、かつ女子4人から1人を選ぶ組み合わせの数に等しいです。

男子を選ぶ組み合わせ: $C(6, 2) = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

女子を選ぶ組み合わせ: $C(4, 1) = \frac{4!}{1!3!} = 4$

よって、求める組み合わせの数は $15 \times 4 = 60$

問題63:

1から11までの数（奇数6個、偶数5個）が書かれたカード11枚から5枚を選ぶとき、2枚が偶数、3枚が奇数となる選び方は、偶数5個から2個を選び、かつ奇数6個から3個を選ぶ組み合わせの数に等しいです。

偶数を選ぶ組み合わせ: $C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

奇数を選ぶ組み合わせ: $C(6, 3) = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

よって、求める組み合わせの数は $10 \times 20 = 200$

問題65:

横に4本の平行線、斜めに3本の平行線があるとき、これらの平行線で囲まれる平行四辺形の個数は、横の平行線から2本を選び、かつ斜めの平行線から2本を選ぶ組み合わせの数に等しいです。

横の平行線を選ぶ組み合わせ: $C(4, 2) = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

斜めの平行線を選ぶ組み合わせ: $C(3, 2) = \frac{3!}{2!1!} = 3$

よって、求める平行四辺形の個数は $6 \times 3 = 18$

問題68(1):

9人の生徒を5人と4人の2組に分ける分け方は、$C(9, 5)$で計算できます。残りの4人は自動的にもう片方の組になるため、$C(4, 4)$を掛ける必要はありません。

$C(9, 5) = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

問題68(2):

9人の生徒を4人、3人、2人の3組に分ける分け方は、$C(9, 4) \times C(5, 3) \times C(2, 2)$で計算できます。

$C(9, 4) = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

$C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$C(2, 2) = 1$

よって、求める分け方は $126 \times 10 \times 1 = 1260$

問題69(1):

6人の生徒を3人ずつA, Bの2組に分ける分け方は、$C(6, 3)$で3人を選び、残りの3人をBに入れるだけです。

$C(6, 3) = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

問題69(2):

6人の生徒を3人ずつ2組に分ける場合、(1)とは異なり、組に名前がないため2組の区別がありません。A, Bの区別がないので、(1)の答えを2で割ります。

$\frac{20}{2} = 10$

問題70(1):

9人の生徒を3人ずつA, B, Cの3組に分ける分け方は、$C(9, 3) \times C(6, 3) \times C(3, 3)$で計算できます。

$C(9, 3) = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

$C(6, 3) = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$C(3, 3) = 1$

よって、$84 \times 20 \times 1 = 1680$

問題70(2):

9人の生徒を3人ずつ3組に分ける分け方は、組に名前がないので、3組の区別はありません。したがって、(1)の答えを3!で割る必要があります。

$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$

問題71:

9人の生徒を5人、2人、2人の3組に分ける分け方は、$C(9, 5) \times C(4, 2) \times C(2, 2)$で計算できます。

ただし、2人の組が2つあるので、組の区別をなくすために2!で割る必要があります。

$C(9, 5) = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

$C(4, 2) = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$C(2, 2) = 1$

よって、$\frac{126 \times 6 \times 1}{2!} = \frac{756}{2} = 378$

3. 最終的な答え

問題55: 15通り

問題59(1): 20個

問題61: 21通り

問題62: 60通り

問題63: 200通り

問題65: 18個

問題68(1): 126通り

問題68(2): 1260通り

問題69(1): 20通り

問題69(2): 10通り

問題70(1): 1680通り

問題70(2): 280通り

問題71: 378通り