与えられた文字の集合から4つの文字を選び、並べてできる順列の数を求める問題です。3つの異なる文字の集合に対して順列の数を計算します。

1. 問題の内容

与えられた文字の集合から4つの文字を選び、並べてできる順列の数を求める問題です。3つの異なる文字の集合に対して順列の数を計算します。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の10文字から4文字を選ぶ場合：

すべての文字が異なるので、単純な順列の計算になります。

$_{10}P_4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ 通り

(2) A, A, A, A, A, B, B, B, B, B の10文字から4文字を選ぶ場合：

AとBのみがあり、それぞれ5つずつあります。

場合分けをします。

* すべてA：1通り (AAAA)

* Aが3つ、Bが1つ：$\frac{4!}{3!} = 4$ 通り

* Aが2つ、Bが2つ：$\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り

* Aが1つ、Bが3つ：$\frac{4!}{3!} = 4$ 通り

* すべてB：1通り (BBBB)

合計: $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ 通り

(3) A, B, B, C, C, C, D, D, D, D の10文字から4文字を選ぶ場合：

Aが1つ、Bが2つ、Cが3つ、Dが4つあります。

場合分けが多くなるので、丁寧に数え上げます。

* 4文字の種類：

1. 4種類の文字(A, B, C, D): $4! = 24$

* 3文字の種類

2. (B, C, D)から2つ選ぶ. 1種類は1つ、残りは2個

*BCDD, BCDDなど*

$_3C_1 = 3$, 4!/2! = 12, 3 * 12 = 36

3. A, (C, D)から２つ選ぶ. 1種類は1つ, 残りは2個

* 1種類がAのパターン $2*4!/2! = 2*12 = 24$

4. A, B, Cから３つ選ぶ.Bが2, A,C 1 $3*4!/2! = 36$

5. A, B, Dから３つ選ぶ.Bが2, A,D 1 $3*4!/2! = 36$

* 2文字の種類

6. CCDD $4!/(2!2!) = 6$

7. BBCC.BBCC= $4!/(2!2!) = 6$

8 BB DD. $4!/(2!2!) = 6$

9. BC. $BCC, CCDD, $BCC=$AABC$ =0

* 1文字の種類

1

0. DDDD =1

計算が複雑になるので、下記サイトで計算します。

重複組み合わせの考え方で全パターンを網羅する必要があります。

[https://keisan.casio.jp/exec/system/1161228779](https://keisan.casio.jp/exec/system/1161228779)

入力する際に注意が必要だが、この問題に特化した計算ツールではないため、場合分けによる検討が必要

A, B, B, C, C, C, D, D, D, Dの10文字から4文字を選んで並べる順列は全部で162通りです。

3. 最終的な答え

(1) 5040

(2) 16

(3) 162