命題「($p$ または $q$) $\Rightarrow$ $r$」が真であるとき、以下の5つの命題の真偽を判定する問題です。 (1) $p$ $\Rightarrow$ $\overline{r}$ (2) $\overline{r}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$ (3) ($p$ かつ $q$) $\Rightarrow$ $r$ (4) $\overline{r}$ $\Rightarrow$ ($\overline{p}$ かつ $\overline{q}$) (5) $r$ $\Rightarrow$ ($p$ または $q$)

1. 問題の内容

命題「($p$ または $q$) $\Rightarrow$ $r$」が真であるとき、以下の5つの命題の真偽を判定する問題です。

(1) $p$ $\Rightarrow$ $\overline{r}$

(2) $\overline{r}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$

(3) ($p$ かつ $q$) $\Rightarrow$ $r$

(4) $\overline{r}$ $\Rightarrow$ ($\overline{p}$ かつ $\overline{q}$)

(5) $r$ $\Rightarrow$ ($p$ または $q$)

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題「($p$ または $q$) $\Rightarrow$ $r$」が真であることから、$p$ または $q$ が真ならば、$r$ は必ず真であるということがわかります。

また、対偶も真であるため、$\overline{r}$ $\Rightarrow$ $\overline{p \text{ または } q}$ が真です。これはド・モルガンの法則により $\overline{r}$ $\Rightarrow$ ($\overline{p}$ かつ $\overline{q}$) と同値です。

(1) $p$ $\Rightarrow$ $\overline{r}$

与えられた命題「($p$ または $q$) $\Rightarrow$ $r$」が真であっても、$p$ が真であるとき $\overline{r}$ が真であるとは限りません。例えば、$p$ が真で $q$ が偽の場合、$p$ または $q$ は真なので、$r$ は真になります。したがって、$\overline{r}$ は偽となり、$p$ $\Rightarrow$ $\overline{r}$ は偽です。

(2) $\overline{r}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$

$\overline{r}$ が真ならば、$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$ が真なので、$\overline{p}$ は真です。よって、$\overline{r}$ $\Rightarrow$ $\overline{p}$ は真です。

(3) ($p$ かつ $q$) $\Rightarrow$ $r$

$p$ かつ $q$ が真ならば、$p$ も $q$ も真なので、$p$ または $q$ は真です。したがって、$r$ は真です。よって、($p$ かつ $q$) $\Rightarrow$ $r$ は真です。

(4) $\overline{r}$ $\Rightarrow$ ($\overline{p}$ かつ $\overline{q}$)

これは与えられた命題の対偶である $\overline{r}$ $\Rightarrow$ $\overline{p \text{ または } q}$ と同値であり、$\overline{r}$ $\Rightarrow$ ($\overline{p}$ かつ $\overline{q}$)と表せます。与えられた命題が真なので、その対偶も真です。

(5) $r$ $\Rightarrow$ ($p$ または $q$)

$r$ が真であっても、$p$ または $q$ が真であるとは限りません。もし、$p$ も $q$ も偽である場合、$p$ または $q$ は偽となります。しかし、$r$ が真であることは可能です。したがって、$r$ $\Rightarrow$ ($p$ または $q$)は偽です。

もし「$r$ $\Rightarrow$ ($p$ または $q$)」が偽なら、$r$が真で($p$ または $q$)が偽の場合が存在する。しかし、($p$ または $q$)が偽なら、$p$も$q$も偽。これは「($p$ または $q$) $\Rightarrow$ $r$」が真であることに矛盾する。

したがって、$r$ $\Rightarrow$ ($p$ または $q$)は真です。

3. 最終的な答え

(1) ×

(2) 〇

(3) 〇

(4) 〇

(5) 〇