(1) A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める。 (2) A, A, A, A, A, B, B, B, B, B の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める。 (3) A, B, B, C, C, C, D, D, D, D の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める。

はい、承知しました。問題に取り組みます。

1. 問題の内容

(1) A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める。

(2) A, A, A, A, A, B, B, B, B, B の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める。

(3) A, B, B, C, C, C, D, D, D, D の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 10個の異なる文字から4個を選んで並べる順列なので、順列の公式を用いる。

$_{10}P_4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7$

(2) Aが5個、Bが5個ある。4文字を選ぶ場合、Aのみ、Bのみ、AとBの組み合わせが考えられる。

* Aのみの場合：AAAAの1通り

* Bのみの場合：BBBBの1通り

* AとBの組み合わせの場合：Aの個数で場合分けする。

* Aが1個の場合：ABBB。並べ方は$\frac{4!}{3!} = 4$通り

* Aが2個の場合：AABB。並べ方は$\frac{4!}{2!2!} = 6$通り

* Aが3個の場合：AAAB。並べ方は$\frac{4!}{3!} = 4$通り

よって、AとBの組み合わせは4+6+4=14通り

合計1+1+14=16通り

(3) Aが1個、Bが2個、Cが3個、Dが4個ある。4文字を選ぶ場合を考える。

* 4文字全て異なる場合：A, B, C, D の1通り。並べ方は4! = 24通り

* 同じ文字が2つ含まれる場合：

* Bが2個：BB, A, C, Dのいずれか2つ。

* BBAC: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* BBAD: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* BBCD: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* Cが2個：CC, A, B, Dのいずれか2つ。

* CCAB: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* CCAD: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* CCBD: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* Dが2個：DD, A, B, Cのいずれか2つ。

* DDAB: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* DDAC: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* DDBC: $\frac{4!}{2!} = 12$通り

* 同じ文字が3つ含まれる場合：CCC, A, B, Dのいずれか1つ。

* CCCA: $\frac{4!}{3!} = 4$通り

* CCCB: $\frac{4!}{3!} = 4$通り

* CCCD: $\frac{4!}{3!} = 4$通り

* 同じ文字が4つ含まれる場合：DDDDの1通り。並べ方は1通り

* 同じ文字が2つずつ含まれる場合：

* BBCC: $\frac{4!}{2!2!} = 6$通り

* BBDD: $\frac{4!}{2!2!} = 6$通り

* CCDD: $\frac{4!}{2!2!} = 6$通り

合計: $24 + 12 \times 9 + 4 \times 3 + 1 + 6 \times 3 = 24 + 108 + 12 + 1 + 18 = 163$通り

3. 最終的な答え

(1) 5040

(2) 16

(3) 163