問題は、集合に関する基本的な問題です。具体的には、全体集合が与えられたときの部分集合（3の倍数の集合、12の約数の集合）、補集合の計算、2つの集合の共通部分と和集合の計算、そして命題の真偽判定とその反例を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、集合に関する基本的な問題です。具体的には、全体集合が与えられたときの部分集合（3の倍数の集合、12の約数の集合）、補集合の計算、2つの集合の共通部分と和集合の計算、そして命題の真偽判定とその反例を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ のもとで、

* 3の倍数の集合 $A$ を求めます。$A = \{3, 6, 9\}$

* 12の約数の集合 $B$ を求めます。$B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$

* $A$ の補集合 $\overline{A}$ を求めます。$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

* $B$ の補集合 $\overline{B}$ を求めます。$\overline{B} = U - B = \{5, 7, 8, 9, 10\}$

(2) 次の集合 $A, B$ について、$A \cap B$ と $A \cup B$ を求めます。

* $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{2, 3, 5, 7\}$ のとき、

* $A \cap B = \{3, 5, 7\}$

* $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

* $A = \{2, 4, 6, 8\}$、$B = \{3, 6, 9\}$ のとき、

* $A \cap B = \{6\}$

* $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$

(3) 次の命題が真であるか偽であるかを答え、偽の場合は反例を答えます。

* $x = -2 \implies 3x = -6$ : これは真です。なぜなら、$x = -2$ のとき、$3x = 3(-2) = -6$ となり、常に成り立ちます。したがって、反例は「なし」です。

* $3x = -6 \implies x = -2$ : これは真です。なぜなら、$3x = -6$ のとき、$x = -6/3 = -2$ となり、常に成り立ちます。したがって、反例は「なし」です。

3. 最終的な答え

(1)

* $A = \{3, 6, 9\}$

* $B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$

* $\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

* $\overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10\}$

(2)

* (1) $A \cap B = \{3, 5, 7\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

* (2) $A \cap B = \{6\}$

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$

(3)

* $x = -2 \implies 3x = -6$ : 真。反例は「なし」。

* $3x = -6 \implies x = -2$ : 真。反例は「なし」。