(1) 5人の人を3つの部屋A, B, Cに入れる方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、1人も入らない部屋があっても良いものとします。 (2) 5人の人を3つの組A, B, Cに分ける方法は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 5人の人を3つの部屋A, B, Cに入れる方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、1人も入らない部屋があっても良いものとします。

(2) 5人の人を3つの組A, B, Cに分ける方法は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

各人について、部屋A, B, Cの3通りの選択肢があります。

5人それぞれに3通りの選択肢があるので、全部で $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$ 通りの方法があります。

(2)

まず、5人を3つのグループに分けることを考えます。この問題では、各グループが区別されている (A, B, C) ため、次の3つの場合に分けて考えます。

(i) 3人、1人、1人の組に分ける場合：

まず5人から3人を選ぶ方法は ${5 \choose 3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通りです。

残りの2人から1人を選ぶ方法は ${2 \choose 1} = 2$通りです。

最後の1人は自動的に決まります。

ただし、1人の組が2つあるため、組の区別をなくすために2!で割る必要があります。

よって、${5 \choose 3} \times {2 \choose 1} \div 2! = 10 \times 2 \div 2 = 10$通りです。

さらに、この3つの組をA, B, Cに割り当てる方法は $3! = 6$通りです。

したがって、この場合は $10 \times 6 = 60$通りです。

(ii) 2人、2人、1人の組に分ける場合：

まず5人から2人を選ぶ方法は ${5 \choose 2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通りです。

残りの3人から2人を選ぶ方法は ${3 \choose 2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$通りです。

最後の1人は自動的に決まります。

ただし、2人の組が2つあるため、組の区別をなくすために2!で割る必要があります。

よって、${5 \choose 2} \times {3 \choose 2} \div 2! = 10 \times 3 \div 2 = 15$通りです。

さらに、この3つの組をA, B, Cに割り当てる方法は $3! = 6$通りですが、2つの組が同じ人数なので、割り当て方は$3!$通りではなく、3通りです。

組Aに1人を割り当てた場合、組Bと組Cへの2人組の割り当て方は1通りしかありません。組Bに1人を割り当てた場合、組Aと組Cへの2人組の割り当て方は1通りしかありません。組Cに1人を割り当てた場合、組Aと組Bへの2人組の割り当て方は1通りしかありません。

組をA, B, Cに割り当てる方法は3通りです。

したがって、この場合は $15 \times 3 = 45$通りです。

(iii) 4人, 1人, 0人の組に分ける場合

5人から4人を選ぶ方法は ${5 \choose 4}=5$通り。残りの1人は自動的に決まります。3つの組のうち、4人、1人が入る組の選び方は$3 \times 2 = 6$通りなので、$5 \times 6=30$通りとなります。

(iv) 5人, 0人, 0人の組に分ける場合

5人を一組にしてA, B, Cのどれかに入れるので、3通り。

したがって、合計で$60+45=105$となります。

3. 最終的な答え

(1) 243通り

(2) 25通り