$n$を2以上の自然数とする。$n$個の数$1, 2, \dots, n$の積の総和$P$を求めたい。ただし、$a \times b$と$b \times a$は同じものとする。 $S = 1 + 2 + 3 + \dots + n$, $T = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$とするとき、$P$を$S$と$T$で表せ。

1. 問題の内容

$n$を2以上の自然数とする。$n$個の数$1, 2, \dots, n$の積の総和$P$を求めたい。ただし、$a \times b$と$b \times a$は同じものとする。

$S = 1 + 2 + 3 + \dots + n$, $T = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$とするとき、$P$を$S$と$T$で表せ。

2. 解き方の手順

積の総和$P$は、

$(1+2+3+\dots+n)(1+2+3+\dots+n)$を展開したときに現れる項のうち、$i \times j$ ($i \neq j$)の形の項は2回現れるので、1回だけ数えるように調整する必要がある。

$(1+2+3+\dots+n)(1+2+3+\dots+n) = (1+2+3+\dots+n)^2 = S^2$

$S^2$を展開すると、

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$の形の項が1つずつと、$i \times j$ ($i \neq j$)の形の項が2つずつ現れる。

$P$は$i \times j$ ($i \neq j$)の形の項が1つずつ現れるようにしたものなので、

$S^2$から$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = T$を引き、$i \times j$ ($i \neq j$)の形の項が1つずつになるように2で割ればよい。

したがって、$P = \frac{S^2 - T}{2}$.

3. 最終的な答え

$P = \frac{S^2 - T}{2}$