与えられた集合$A$と$B$の共通部分$A \cap B$と和集合$A \cup B$を求める問題。また、与えられた命題が真であるか偽であるかを判定し、偽である場合は反例を答える問題。さらに、与えられた条件の否定を答える問題。

1. 問題の内容

与えられた集合$A$と$B$の共通部分$A \cap B$と和集合$A \cup B$を求める問題。また、与えられた命題が真であるか偽であるかを判定し、偽である場合は反例を答える問題。さらに、与えられた条件の否定を答える問題。

2. 解き方の手順

(1) $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、 $B = \{2, 3, 5, 7\}$

$A \cap B$は$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合なので、$A \cap B = \{3, 5, 7\}$。

$A \cup B$は$A$または$B$に含まれる要素の集合なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$。

(2) $A = \{2, 4, 6, 8\}$、 $B = \{3, 6, 9\}$

$A \cap B$は$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合なので、$A \cap B = \{6\}$。

$A \cup B$は$A$または$B$に含まれる要素の集合なので、$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$。

(3) 命題の真偽と反例

(1) $x = -2 \implies 3x - 6$

$x = -2$のとき、$3x - 6 = 3(-2) - 6 = -6 - 6 = -12$。したがって、$3x - 6 = -12$となり、「$3x - 6$」となるのは偽。反例は$x = -2$。

(2) $3x - 6 \implies x - 2$

$x = 2$のとき、$3x - 6 = 3(2) - 6 = 6 - 6 = 0$。したがって、$3x - 6 = 0$。

$x = 0$とすると、$x - 2$は「$x-2$」とはならず、この命題は偽。例えば、$x=0$のとき、$3x - 6 = -6$で、$x - 2 = -2$なので、$3x - 6 \implies x - 2$ は成り立たない。したがって、反例は$x = 0$。

(3) $x = 5 \implies x^2 = 25$

$x = 5$のとき、$x^2 = 5^2 = 25$。したがって、$x = 5 \implies x^2 = 25$は真。反例はなし。

(4) $x^2 = 25 \implies x = 5$

$x^2 = 25$のとき、$x = 5$または$x = -5$。したがって、$x = -5$のとき、$x^2 = 25$だが、$x = 5$ではないので、この命題は偽。反例は$x = -5$。

(4) 条件の否定

(1) $x > 1$の否定は、$x \le 1$。

(2) $x \le -2$の否定は、$x > -2$。

3. 最終的な答え

(1)

$A \cap B = \{3, 5, 7\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

(2)

$A \cap B = \{6\}$

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$

(3)

(1) 偽。反例は$x = -2$。

(2) 偽。反例は$x = 0$。

(3) 真。反例はなし。

(4) 偽。反例は$x = -5$。

(4)

(1) $x \le 1$

(2) $x > -2$