5人の人を、A, B, Cの3つのグループに分ける方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、各グループに少なくとも1人は属している必要があります。

1. 問題の内容

5人の人を、A, B, Cの3つのグループに分ける方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、各グループに少なくとも1人は属している必要があります。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、グループ分けのすべての可能性を考慮する必要があります。5人を3つのグループに分ける方法は、以下のいずれかになります。

* (3人, 1人, 1人)

* (2人, 2人, 1人)

それぞれのグループ分けのパターンについて、組み合わせの数を計算し、それらを足し合わせることで、答えを求めます。

**パターン1: (3人, 1人, 1人)**

まず、5人の中から3人を選び、グループAに入れます。これは$_{5}C_{3}$通りあります。

残りの2人から1人を選びグループBに入れます。これは$_{2}C_{1}$通りあります。

残りの1人は自動的にグループCに入ります。これは$_{1}C_{1}$通りあります。

この場合、3つのグループの区別がないため、グループBとグループCの区別をなくす必要があります。そのため、計算結果を2!で割ります。

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$_{2}C_{1} = \frac{2!}{1!1!} = 2$

$_{1}C_{1} = 1$

$\frac{_{5}C_{3} \times _{2}C_{1} \times _{1}C_{1}}{2!} = \frac{10 \times 2 \times 1}{2} = 10$

**パターン2: (2人, 2人, 1人)**

まず、5人の中から2人を選び、グループAに入れます。これは$_{5}C_{2}$通りあります。

残りの3人から2人を選びグループBに入れます。これは$_{3}C_{2}$通りあります。

残りの1人は自動的にグループCに入ります。これは$_{1}C_{1}$通りあります。

この場合、グループAとグループBは人数が同じなので、区別をなくす必要があります。そのため、計算結果を2!で割ります。

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

$_{1}C_{1} = 1$

$\frac{_{5}C_{2} \times _{3}C_{2} \times _{1}C_{1}}{2!} = \frac{10 \times 3 \times 1}{2} = 15$

パターン1とパターン2を足し合わせます。

$10 + 15 = 25$

3. 最終的な答え

25通り