右図のA地点からB地点へ行く最短経路の総数と、P地点を通ってA地点からB地点へ行く最短経路の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

右図のA地点からB地点へ行く最短経路の総数と、P地点を通ってA地点からB地点へ行く最短経路の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) AからBへの最短経路を求める。

AからBへ行くには、右に5回、上に3回移動する必要があります。

したがって、最短経路の総数は、8回の移動のうち上に3回移動する場所を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは組み合わせで計算できます。

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(2) AからPを経由してBへ行く最短経路を求める。

まず、AからPへの最短経路を求めます。AからPへは、右に2回、上に2回移動する必要があります。

したがって、AからPへの最短経路の総数は、4回の移動のうち上に2回移動する場所を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

次に、PからBへの最短経路を求めます。PからBへは、右に3回、上に1回移動する必要があります。

したがって、PからBへの最短経路の総数は、4回の移動のうち上に1回移動する場所を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$_{4}C_{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4$

AからPを経由してBへ行く最短経路の総数は、AからPへの最短経路の総数とPからBへの最短経路の総数の積で求められます。

$6 \times 4 = 24$

3. 最終的な答え

(1) 最短経路は 56 通りある。

(2) P地点を通っていく最短経路は 24 通りある。