全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ と $B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ が定義されています。 (1) $A \cap B$ を求めよ。 (2) $\overline{A} \cap B$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ と $B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ が定義されています。

(1) $A \cap B$ を求めよ。

(2) $\overline{A} \cap B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。 $A$ と $B$ の要素を比較して共通の要素を見つけます。

$A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$

$B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

共通の要素は、$3, 5, 7$ です。したがって、$A \cap B = \{3, 5, 7\}$ です。

(2) $\overline{A} \cap B$ は、$A$ の補集合（$U$ に含まれていて $A$ に含まれない要素の集合）と $B$ の共通部分です。まず、$A$ の補集合 $\overline{A}$ を求めます。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$

したがって、 $\overline{A} = \{2, 4, 8\}$ です。

次に、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分を求めます。

$\overline{A} = \{2, 4, 8\}$

$B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

共通の要素は、$2, 4$ です。したがって、$\overline{A} \cap B = \{2, 4\}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 5, 7\}$

(2) $\overline{A} \cap B = \{2, 4\}$