先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方 (2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方 (3) 両端が生徒である並び方 (4) 先生2人が隣り合わない並び方

1. 問題の内容

先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。

(1) 全ての並び方

(2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方

(3) 両端が生徒である並び方

(4) 先生2人が隣り合わない並び方

2. 解き方の手順

(1) 全ての並び方

先生2人と生徒3人の合計5人が並ぶので、並び方は5!通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方

生徒3人をひとまとめにして考えると、先生2人と生徒のグループ1つの合計3つのものを並べることになります。これらの並び方は3!通りです。また、生徒3人のグループ内での並び方は3!通りです。したがって、求める並び方は3! × 3!通りです。

$3! \times 3! = (3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 6 \times 6 = 36$

(3) 両端が生徒である並び方

両端に生徒を配置する方法は、$3 \times 2 = 6$ 通りあります。残りの3人(先生2人、生徒1人)の並び方は3! = 6通りです。したがって、両端が生徒である並び方は、$6 \times 6 = 36$通りです。

(4) 先生2人が隣り合わない並び方

まず生徒3人を並べます。これは3! = 6通りあります。

生徒3人が並んだとき、生徒の間または両端の4箇所に先生が入ることができます。

先生2人が隣り合わないように並べる方法は、$4 \times 3 / 2! = 6$ 通りです。先生2人は区別できるため、${}_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。

よって、先生2人が隣り合わない並び方は、$3! \times {}_4P_2 = 6 \times 12 = 72$通りです。

別の解法として、全体の並び方から先生が隣り合う並び方を引きます。先生が隣り合う並び方は、先生2人をひとまとめにして、生徒3人と先生グループの合計4つを並べる方法4!通り。さらに先生の並び順が2!通りなので、4! × 2! = 24 × 2 = 48通り。よって、先生が隣り合わない並び方は、120 - 48 = 72通りです。

3. 最終的な答え

(1) 全ての並び方：120通り

(2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方：36通り

(3) 両端が生徒である並び方：36通り

(4) 先生2人が隣り合わない並び方：72通り