無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等である。 (2) $X-A$ が $X$ と対等ならば、$A$ は有限集合である。

1. 問題の内容

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。

(1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等である。

(2) $X-A$ が $X$ と対等ならば、$A$ は有限集合である。

2. 解き方の手順

(1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等であることの証明:

$X$ が無限集合であり、$A$ が有限集合であると仮定する。$A$ の要素数を $n$ とする。

$X$ は無限集合であるため、可算無限部分集合 $B = \{x_1, x_2, x_3, ...\}$ を持つ。

$A' = A \cup \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ とする。$A'$ は有限集合であり、$n + |A|$ 個の要素を持つ。

$f: X \rightarrow X-A$ を以下のように定義する。

$f(x_i) = x_{i+n}$ ($x_i \in B$)

$f(x) = x$ ($x \in X - B$)

この $f$ が全単射であることを示す。

$f$ が単射であること：$x, y \in X$ に対して、$f(x) = f(y)$ ならば $x=y$ であることを示す。

もし $x, y \in B$ なら、$x = x_i, y = x_j$ と書ける。$f(x_i) = x_{i+n}, f(x_j) = x_{j+n}$。

$x_{i+n} = x_{j+n}$ なら、$i+n = j+n$ より $i = j$。よって、$x_i = x_j$。

もし $x, y \in X-B$ なら、$f(x) = x, f(y) = y$。$f(x) = f(y)$ より $x = y$。

もし $x \in B, y \in X-B$ なら、$f(x) \in B, f(y) \in X-B$。よって、$f(x) \neq f(y)$。

したがって、$f$ は単射である。

$f$ が全射であること：任意の $y \in X-A$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in X$ が存在することを示す。

もし $y \in X-B$ なら、$f(y) = y$ より、$x = y$。

もし $y \in B$ なら、$y = x_k$ と書ける。$A$ は有限集合なので、ある番号以降の $x_k$ は $X-A$ に属する。

$y= x_k \in X-A$ なら、$k > n$ であれば、$k = i+n$ となる $i$ が存在する。$x = x_i$ とすれば、$f(x) = x_{i+n} = x_k = y$。

したがって、$f$ は全射である。

よって、$X$ と $X-A$ は対等である。

(2) $X-A$ が $X$ と対等ならば、$A$ は有限集合であることの反例:

$X = \{1, 2, 3, ...\}$ (自然数全体の集合) とする。

$A = \{2, 4, 6, ...\}$ (偶数全体の集合) とする。

$X-A = \{1, 3, 5, ...\}$ (奇数全体の集合) となる。

$X$ と $X-A$ はどちらも可算無限集合なので対等である。

しかし、$A$ は有限集合ではない (無限集合である)。

したがって、この命題は正しくない。

3. 最終的な答え

(1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等である: 正しい。証明は上記参照。

(2) $X-A$ が $X$ と対等ならば、$A$ は有限集合である: 正しくない。反例は上記参照。