右図のような道がある地域で、以下の条件を満たす最短の道順の数を求める問題です。 (1) AからBまで行く (2) AからCを通ってBまで行く (3) AからCを通らずにBまで行く ただし、図がないため、A, B, Cの位置関係と道の形状が不明です。標準的な格子状の道で、Aが左下、Bが右上、Cが途中の点にあると仮定して解きます。具体的には、AからBまで右に4マス、上に3マスの道があり、CがAから右に2マス、上に1マスにあると仮定します。

1. 問題の内容

右図のような道がある地域で、以下の条件を満たす最短の道順の数を求める問題です。

(1) AからBまで行く

(2) AからCを通ってBまで行く

(3) AからCを通らずにBまで行く

ただし、図がないため、A, B, Cの位置関係と道の形状が不明です。標準的な格子状の道で、Aが左下、Bが右上、Cが途中の点にあると仮定して解きます。具体的には、AからBまで右に4マス、上に3マスの道があり、CがAから右に2マス、上に1マスにあると仮定します。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く場合:

右に4回、上に3回移動する必要があります。合計7回の移動のうち、どの3回を上に移動するかに対応するため、組み合わせで計算できます。

${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) AからCを通ってBまで行く場合:

まずAからCまで行く道順を計算します。右に2回、上に1回移動するので、合計3回の移動のうち1回を上に移動するかに対応します。

${}_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$

次にCからBまで行く道順を計算します。右に2回、上に2回移動するので、合計4回の移動のうち2回を上に移動するかに対応します。

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

AからCを通ってBまで行く道順は、AからCへの道順とCからBへの道順を掛け合わせます。

$3 \times 6 = 18$

(3) AからCを通らずにBまで行く場合:

AからBまでのすべての道順から、AからCを通ってBまで行く道順を引きます。

$35 - 18 = 17$

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く道順は35通りです。

(2) AからCを通ってBまで行く道順は18通りです。

(3) AからCを通らずにBまで行く道順は17通りです。