12以下の自然数全体の集合を $U$、12の正の約数全体の集合を $A$、10以下の偶数全体の集合を $B$ とするとき、次の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

12以下の自然数全体の集合を $U$、12の正の約数全体の集合を $A$、10以下の偶数全体の集合を $B$ とするとき、次の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

まず、集合 $U$, $A$, $B$ を具体的に書き出します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

(1) $\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

(2) $\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 12\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合です。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 12\} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

(4) まず $A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \cup \{2, 4, 6, 8, 10\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12\}$

次に $\overline{A \cup B}$ を求めます。これは $U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} - \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12\} = \{5, 7, 9, 11\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 12\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{5, 7, 9, 11\}$