問題は、"MATSUURA"という8文字の文字列に関する並べ方の問題です。 (1) 8文字全てを1列に並べる場合の数を求めます。 (2) M, T, S, R がこの順に並ぶ場合の数を求めます。

離散数学順列組み合わせ文字列場合の数
2025/7/6

1. 問題の内容

問題は、"MATSUURA"という8文字の文字列に関する並べ方の問題です。
(1) 8文字全てを1列に並べる場合の数を求めます。
(2) M, T, S, R がこの順に並ぶ場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全ての並べ方
"MATSUURA"という文字列は、M, A, T, S, U, U, R, A の8文字で構成されています。Aが2つ、Uが2つ含まれていることに注意します。
もし全ての文字が異なっていれば、並べ方は8!通りです。しかし、AとUがそれぞれ2つずつあるので、同じ並びが重複して数えられています。Aの並び替えの2!通りとUの並び替えの2!通りで割る必要があります。
したがって、全ての並べ方は次のようになります。
8!2!×2!=8×7×6×5×4×3×2×12×1×2×1=8×7×6×5×6=10080\frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 6 = 10080
(2) M, T, S, Rがこの順に並ぶ場合
まず、M, T, S, Rの4文字を〇で表し、残りの4文字 (A, A, U, U)と合わせて8つの位置を考えます。
〇 〇 〇 〇 A A U U
この8つの位置にまず A, A, U, U を並べることを考えます。 これは 8!2!×2!=8×7×6×52×2=420\frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 2}= 420 通り。
次に左から順に〇にM, T, S, Rを当てはめます。
従って、M, T, S, Rがこの順に並ぶ並べ方は
8!4!2!2!=8×7×6×5×4×3×2×1(4×3×2×1)×(2×1)×(2×1)=8×7×6×52×2=420\frac{8!}{4! 2! 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 2}= 420

3. 最終的な答え

(1) 全ての並べ方は 10080 通り
(2) M, T, S, Rがこの順に並ぶ並べ方は 840 通り
```
(1) 10080通り
(2) 840通り
```

「離散数学」の関連問題

問題は、集合に関する基本的な問題です。具体的には、全体集合が与えられたときの部分集合(3の倍数の集合、12の約数の集合)、補集合の計算、2つの集合の共通部分と和集合の計算、そして命題の真偽判定とその反...

集合部分集合補集合共通部分和集合命題真偽
2025/7/10

順列 ${}_8P_4$ から組合せ ${}_8C_4$ を引いた値を計算する問題です。つまり、${}_8P_4 - {}_8C_4$ を求めることになります。

順列組合せ組み合わせ
2025/7/10

先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方 (2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方 (3) 両端が生徒である並び方 (4...

順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/10

大人3人と子供3人が輪になって並ぶ場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方を求めます。 (2) 大人と子供が交互に並ぶ並び方を求めます。

順列組み合わせ円順列
2025/7/9

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等...

集合論無限集合対等全単射証明反例
2025/7/9

男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 円の作り方は全部で何通りあるか。 (2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。 (3) 男子の太郎君と次郎君が向...

円順列順列組み合わせ場合の数
2025/7/9

図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

組み合わせ最短経路順列
2025/7/9

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。ただし、Aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使います。

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/9

正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。 (1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。 (2) 6色...

組み合わせ場合の数順列円順列正多角形
2025/7/9

(1) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ の部分集合を、与えられた集合 $P = \{1, 2, 3, 5\}$, $Q = \{1, 2, 4, 6\}$, $R = \...

集合部分集合補集合共通部分和集合
2025/7/9