数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3n$ で定義されている。 (1) $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ の式で表す。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3n$ で定義されている。

(1) $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ の式で表す。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = a_{n+1} - a_n$ であるから、$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ である。

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3n$ より、$a_{n+2} = 2a_{n+1} - 3(n+1)$ である。

したがって、

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = (2a_{n+1} - 3(n+1)) - a_{n+1} = a_{n+1} - 3n - 3$

また、$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、$a_{n+1} = b_n + a_n$ である。

これらを代入すると、

$b_{n+1} = (b_n + a_n) - 3n - 3$

ここで、$a_{n+1} = 2a_n - 3n$ を $a_n$ について解くと、$a_n = \frac{a_{n+1} + 3n}{2}$ となる。

これを代入すると、$b_{n+1} = a_{n+1} - 3n - 3 = (2a_n - 3n) - 3n - 3 = 2a_n - 6n - 3$。

しかし、$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、$a_{n+1} = a_n + b_n$ なので、$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = (2a_{n+1} - 3(n+1)) - a_{n+1} = a_{n+1} - 3(n+1)$.

一方、$a_{n+1} = 2a_n - 3n$ なので、

$b_{n+1} = 2a_n - 3n - 3n - 3 = 2a_n - 6n - 3$

$b_n = a_{n+1} - a_n = (2a_n - 3n) - a_n = a_n - 3n$ より、$a_n = b_n + 3n$

$b_{n+1} = 2(b_n + 3n) - 6n - 3 = 2b_n + 6n - 6n - 3 = 2b_n - 3$

(2) $b_{n+1} = 2b_n - 3$ を変形する。$b_{n+1} - 3 = 2(b_n - 3)$

$c_n = b_n - 3$ とすると、$c_{n+1} = 2c_n$ となり、$\{c_n\}$ は公比2の等比数列。

$c_1 = b_1 - 3 = (a_2 - a_1) - 3 = (2a_1 - 3(1) - a_1) - 3 = a_1 - 3 - 3 = 1 - 6 = -5$.

よって、$c_n = c_1 2^{n-1} = -5 \cdot 2^{n-1}$.

したがって、$b_n = c_n + 3 = -5 \cdot 2^{n-1} + 3$.

$a_{n+1} - a_n = -5 \cdot 2^{n-1} + 3$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-5 \cdot 2^{k-1} + 3) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-5 \cdot 2^{k-1}) + \sum_{k=1}^{n-1} 3 = 1 - 5 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} + 3(n-1)$.

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = 2^{n-1} - 1$.

$a_n = 1 - 5(2^{n-1} - 1) + 3(n-1) = 1 - 5 \cdot 2^{n-1} + 5 + 3n - 3 = 3 - 5 \cdot 2^{n-1} + 3n$.

したがって、$a_n = -5 \cdot 2^{n-1} + 3n + 3$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = 2b_n - 3$

(2) $a_n = -5 \cdot 2^{n-1} + 3n + 3$