みかん、かき、なしの3種類の果物で10個入りの果物かごを作る問題を考えます。 (1) 3種類の果物のうち、1つも入っていないものがあっても良い場合、何通りの作り方があるか。 (2) 3種類の果物をそれぞれ最低2個は入れる場合、何通りの作り方があるか。

1. 問題の内容

みかん、かき、なしの3種類の果物で10個入りの果物かごを作る問題を考えます。

(1) 3種類の果物のうち、1つも入っていないものがあっても良い場合、何通りの作り方があるか。

(2) 3種類の果物をそれぞれ最低2個は入れる場合、何通りの作り方があるか。

2. 解き方の手順

(1) 1つも入っていない果物があっても良い場合

これは、みかん、かき、なしの個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、$x + y + z = 10$ を満たす非負整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題です。これは重複組み合わせの問題で、異なる3種類のものから10個を選ぶ組み合わせの数と考えることができます。

重複組み合わせの公式を使うと、

$_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$

今回の場合は、$n = 3$, $r = 10$ なので、

${}_{3}H_{10} = {}_{3+10-1}C_{10} = {}_{12}C_{10} = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$

(2) 3種類とも最低2個は入れる場合

まず、みかん、かき、なしをそれぞれ2個ずつ入れることを考えます。すると、残りの果物の個数は $10 - 2 - 2 - 2 = 4$ 個となります。

したがって、みかん、かき、なしの追加の個数をそれぞれ $x', y', z'$ とすると、$x' + y' + z' = 4$ を満たす非負整数の組 $(x', y', z')$ の個数を求める問題となります。

これも重複組み合わせの問題で、異なる3種類のものから4個を選ぶ組み合わせの数と考えることができます。

今回の場合は、$n = 3$, $r = 4$ なので、

${}_{3}H_{4} = {}_{3+4-1}C_{4} = {}_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

3. 最終的な答え

(1) 66通り

(2) 15通り