$2 + \sqrt{7}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ と $b$ を求めよ。 (2) $a + b^2 + 4b + 4$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2 + \sqrt{7}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ と $b$ を求めよ。

(2) $a + b^2 + 4b + 4$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ を求める。

$\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ であるから、$2 < \sqrt{7} < 3$ が成り立つ。

したがって、$2 + 2 < 2 + \sqrt{7} < 2 + 3$ となり、$4 < 2 + \sqrt{7} < 5$ である。

よって、$2 + \sqrt{7}$ の整数の部分 $a$ は $4$ である。

$2 + \sqrt{7}$ の小数の部分 $b$ は、$b = (2 + \sqrt{7}) - a = (2 + \sqrt{7}) - 4 = \sqrt{7} - 2$ である。

(2) $a + b^2 + 4b + 4$ の値を求める。

$a = 4$ であり、$b = \sqrt{7} - 2$ であるから、

$a + b^2 + 4b + 4 = 4 + (\sqrt{7} - 2)^2 + 4(\sqrt{7} - 2) + 4$

$= 4 + (7 - 4\sqrt{7} + 4) + (4\sqrt{7} - 8) + 4$

$= 4 + 7 - 4\sqrt{7} + 4 + 4\sqrt{7} - 8 + 4$

$= 4 + 7 + 4 - 8 + 4$

$= 11$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = \sqrt{7} - 2$

(2) $11$