1から100までの自然数について、以下の個数を求める問題です。 (1) 4でも6でも割り切れる数 (2) 4または6で割り切れる数 (3) 4で割り切れない、または6で割り切れない数

1. 問題の内容

1から100までの自然数について、以下の個数を求める問題です。

(1) 4でも6でも割り切れる数

(2) 4または6で割り切れる数

(3) 4で割り切れない、または6で割り切れない数

2. 解き方の手順

(1) 4でも6でも割り切れる数

4と6の最小公倍数は12なので、$100 \div 12$の商を求めます。

商は8なので、4でも6でも割り切れる数は8個です。

(2) 4または6で割り切れる数

4で割り切れる数は、$100 \div 4 = 25$個です。

6で割り切れる数は、$100 \div 6 = 16.66...$より、16個です。

4でも6でも割り切れる数は8個（(1)より）なので、

4または6で割り切れる数は、$25 + 16 - 8 = 33$個です。

(3) 4で割り切れない、または6で割り切れない数

4で割り切れない数、または6で割り切れない数は、4でも6でも割り切れる数でない数の個数です。

1から100までの自然数のうち、4でも6でも割り切れる数は8個だったので、4でも6でも割り切れない数は$100 - 8 = 92$個です。

4で割り切れる数、または6で割り切れる数の否定を求めます。

全体の個数100から4でも6でも割り切れる数を引いたものです。

したがって、$100 - 8 = 92$個です。

もう一つの考え方として、余事象を考えます。

4でも6でも割り切れる数の否定は、4で割り切れない数、または6で割り切れない数です。

これは、全体から4でも6でも割り切れる数を引いたものと考えることができます。

4で割り切れない数または6で割り切れない数は、4または6で割り切れる数の否定です。

4または6で割り切れる数は33個だったので、4で割り切れない、または6で割り切れない数は$100 - 33 = 67$個ではありません。

$A \cup B$ の否定は $A^c \cap B^c$ であり、$A \cap B$ の否定は $A^c \cup B^c$ であることに注意します。

ド・モルガンの法則を利用します。

4で割り切れない数は$100 - 25 = 75$個です。

6で割り切れない数は$100 - 16 = 84$個です。

4で割り切れないかつ6で割り切れない数は、$100 - 33 = 67$個です。

4で割り切れない、または6で割り切れない数は、$75 + 84 - 67 = 92$個です。

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) 33個

(3) 92個