$\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{\frac{1}{8}}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{\frac{1}{8}}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するためには、まずそれらを同じ指数を持つ累乗の形に変換する必要があります。

まず、それぞれの数を整理します。

$\sqrt{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{2^2})^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2^3})^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$

したがって、比較すべき数は $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ です。

次に、指数の$\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$を比較しやすいように通分します。

これらの分数の分母の最小公倍数は6なので、

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

$\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$

したがって、比較すべき数は $(\frac{1}{2})^{\frac{3}{6}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{4}{6}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{9}{6}}$ です。

底である$\frac{1}{2}$は1より小さいので、指数が大きいほど数が小さくなります。

指数の大小関係は $\frac{3}{6} < \frac{4}{6} < \frac{9}{6}$ なので、

数の大小関係は $(\frac{1}{2})^{\frac{9}{6}} < (\frac{1}{2})^{\frac{4}{6}} < (\frac{1}{2})^{\frac{3}{6}}$ となります。

元の形に戻すと、$\sqrt{\frac{1}{8}} < \sqrt[3]{\frac{1}{4}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{\frac{1}{8}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{\frac{1}{2}}$